Hàm truyền bộ lọc thông thấp : Bài viết này cung cấp một số thông tin chi tiết về mối quan hệ giữa hàm chuyển miền s và hoạt động của bộ lọc thông thấp bậc nhất.
Gần đây, tôi đã viết khá nhiều về chủ đề bộ lọc và mặc dù tôi đang tập trung vào những cân nhắc thực tế, tôi cảm thấy cần phải giải thích một số khái niệm lý thuyết quan trọng vì lợi ích của những người muốn tìm hiểu kỹ hơn hiểu và phân tích hoạt động của bộ lọc tương tự. Ngày nay, mọi người đều có quyền truy cập vào các công cụ phần mềm giúp thiết kế bộ lọc phức tạp tương đối dễ dàng, nhưng tôi không nghĩ là khôn ngoan khi bỏ qua hoàn toàn nền tảng toán học đơn giản vì nó không hoàn toàn cần thiết để hoàn thành nhiều nhiệm vụ thiết kế trong đời thực.
Miền s – Hàm truyền bộ lọc thông thấp
Đáp ứng của một bộ lọc có thể được thể hiện bằng một hàm truyền miền s; biến s đến từ phép biến đổi Laplace và biểu diễn tần số phức. Ví dụ:
Hàm truyền này là một mô tả toán học về hành vi miền tần số của bộ lọc thông thấp bậc nhất. Biểu thức miền s truyền đạt một cách hiệu quả các đặc tính chung và nếu chúng ta muốn tính toán thông tin về độ lớn và pha cụ thể, tất cả những gì chúng ta phải làm là thay s bằng jω và sau đó đánh giá biểu thức ở một tần số góc nhất định.
Bạn có thể tự hỏi đó K và ω O đến từ tốt-bạn đã có lẽ chưa bao giờ thấy một sơ đồ mạch có giá trị thành phần biểu diễn dưới dạng K và ω O . Ý tưởng ở đây là K và ω O giống như các phần của mẫu, và trong phần tiếp theo chúng ta sẽ xem xét mối quan hệ giữa mẫu và sơ đồ mạch.
Phân tích mạch miền s
Bộ lọc thông thấp RC là một bộ phân áp phụ thuộc vào tần số. Trong phân tích miền s, trở kháng của một điện trở là R và trở kháng của tụ điện làSC.
Nếu chúng ta so sánh biểu thức này với hàm truyền chuẩn hóa, chúng ta có thể thấy rằng K = 1 và ω O. Sự tiện lợi của việc sử dụng dạng chuẩn hóa trở nên rõ ràng khi bạn biết K và ω O đại diện cho điều gì: K là độ lợi của mạch tại DC và ω O là tần số cắt. Do đó, bằng cách so sánh hàm truyền của mạch với hàm truyền chuẩn hóa, bạn có thể lập tức lập biểu thức cho hai đặc điểm xác định của bộ lọc thông thấp bậc một, đó là độ lợi DC và tần số cắt.
Một dạng chuẩn hóa khác của hàm truyền thông thấp bậc nhất là như sau:
Chúng ta có thể phù hợp với chức năng truyền của mạch vào mẫu này nếu chúng ta chia tử số và mẫu số cho RC:
Vì vậy, a O và ω O. Dạng này không trực tiếp cung cấp cho chúng ta độ lợi DC, nhưng nếu chúng ta đánh giá biểu thức chuẩn hóa cho s = 0, chúng ta có
Điều này có nghĩa là độ lợi DC của bộ lọc RC của chúng tôi là (1/RC)=1và sự thống nhất đạt được DC chính xác là những gì chúng ta mong đợi từ một bộ lọc thông thấp thụ động.
Hiểu tần suất ngắt
Chúng ta đã thấy rằng ω O trong hàm truyền chuẩn đại diện cho tần số cắt, nhưng cơ sở toán học của thực tế này là gì?
Đầu tiên, hãy chuyển đổi hàm truyền miền s chuẩn thành hàm truyền jω tương đương .
Bây giờ hãy đánh giá biểu thức ở tần số cắt.
Mẫu số là một số phức nên độ lớn sẽ là
Vì K là độ lợi DC nên tín hiệu đầu vào tần số rất thấp với biên độ một vôn sẽ dẫn đến tín hiệu đầu ra có biên độ K vôn. Nếu tần số đầu vào tăng lên ω O radian trên giây, biên độ đầu ra sẽ là. Nhân tố tương ứng với –3 dB, và như bạn có thể biết, một tên gọi khác của tần số cắt là tần số –3 dB.
Đây là hình dạng của đáp ứng cường độ của bộ lọc thông thấp thụ động bậc một khi nó được vẽ biểu đồ độ lớn theo dB so với tần số logarit.
Phân tích hàm truyền đơn giản này đã chứng minh rõ ràng rằng tần số cắt chỉ đơn giản là tần số mà tại đó đáp ứng biên độ của bộ lọc giảm 3 dB so với đáp ứng biên độ tần số rất thấp.
Tần số ngắt và Chuyển pha
Tần số cắt của bộ lọc thông thấp cũng có ý nghĩa đặc biệt đối với đáp ứng pha của mạch. Nếu chúng ta viết một số phức dưới dạng x + jy , chúng ta tính giai đoạn như sau:
Do đó, phản ứng pha tổng thể của bộ lọc thông thấp RC của chúng tôi là
Nếu chúng ta đánh giá biểu thức này tại ω = ω O , thì độ lệch pha là
Đây là hình dạng của đáp ứng pha của bộ lọc thông thấp thụ động bậc nhất khi dịch pha được vẽ biểu đồ so với tần số logarit.
Độ lệch pha tối đa được tạo ra bởi bộ lọc thông thấp bậc nhất là 90 °, vì vậy, phân tích này cho chúng ta biết rằng tần số cắt là “trung tâm” của đáp ứng pha của mạch — nói cách khác, nó là tần số mà bộ lọc tạo ra một nửa độ lệch pha cực đại của nó.
Phần kết luận
Tôi hy vọng rằng bạn đã thích phần giới thiệu ngắn gọn này về các khái niệm miền s và phân tích hàm truyền. Cơ sở toán học của các mạch lọc tương tự lúc đầu có thể hơi đáng sợ, nhưng tôi nghĩ rằng rất đáng để bạn dành thời gian để làm quen với các chủ đề này. Tôi sẽ tiếp tục khám phá chủ đề này trong các bài viết sau.