I. Trị riêng, vectơ riêng:

1.1 Định nghĩa :

Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường số

. Số

được gọi là tổng giá trị riêng (gọi tắt là trị riêng – kí hiệu GTR) của ma trận A, nếu tồn tại một vectơ

Xem thêm: Acid Test Ratio Là Gì

sao cho:

Khi đó vectơ u được gọi là vectơ riêng (VTR) của ma trận A ứng với tổng giá trị riêng

1.2 Tính chất:

1. tổng giá trị riêng

chính là nghiệm của phương trình $latex  det(A-I) = 0 &fg=ff0000$ (1) được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A.

Bạn đang xem: Eigenvalues là gì

• Một tổng giá trị riêng khả năng có nhiều vectơ riêng.
• Mỗi vectơ riêng chỉ ứng với một tổng giá trị riêng duy nhất.

4. Ma trận A là nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó  

trong trường hợp này đa thức đặc trưng được coi là đa thức ma trận, nghĩa là biến số của nó không phải là biến số thực mà là biến ma trận)

5. Nếu

là tổng giá trị riêng của ma trận A thì A không khả nghịch. Ngược lại, nếu mọi GTR của A đều khác không thì A khả nghịch.

6. Nếu

là GTR của ma trận A thì

là tổng giá trị riêng của ma trận

 

Chứng minh :

1. Số

là trị riêng của A khi và chỉ khi

. Suy ra: hệ phương trình  tuyến tính thuần nhất

có nghiệm

.

2. Điều này là hiển nhiên vì dựa vào định nghĩa và tính chất 1 thì hệ phương trình

có vô số nghiệm.

3. Giả sử vectơ riêng

ứng với 2 trị riêng

.

Ta cần chứng minh:

. Thật vậy, ta có :

Mà:

. vì thế:

◊

4. Ta có:

5. Do

là GTR của ma trận A. vì thế:

.

Chứng tỏ A suy biến (không khả nghịch).

6. Ta có

. vì thế:

.

Xem thêm: Ddos Là Gì – Hệ Thống Chống Ddos Anti Ddos

Từ đó, bằng cách chứng minh quy nạp, bạn sẽ có kết quả.

Nhận xét: từ kết quả trên, ta nhận thấy có 1 cách để tính nhanh

. Đó là ta tìm đa thức đặc trưng

của ma trận A. Sau đó, tính tổng giá trị của P(a).

1.3. Phương pháp giải tìm trị riêng, vectơ riêng:

Bước 1: Giải phương trình đặc trựng

tìm tổng giá trị riêng.

Bước 2: Tìm vectơ riêng ứng với tổng giá trị riêng

:

Ứng với mỗi tổng giá trị riêng

vừa tìm được, ta giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Lưu ý : theo tính chất trên, thì hpt (2) luôn luôn có vô số nghiệm. vì thế, nếu bạn giải pt (2) mà vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất thì phải kiểm tra lại.

1.4 Không gian con riêng ứng với GTR

Các vetơ riêng của ma trận  A ứng với tổng giá trị riêng

cùng với vectơ 0 tạo thành 1 không gian con được gọi là không gian con riêng ứng với

.

Ký hiệu:

Nếu tổng giá trị riêng

là nghiệm bội k thì

1.5 Các ví dụ :

Ví dụ 1 . Tìm GTR, VTR của ma trận A:

” title=”left ” class=”latex” />

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:

Giải phương trình đặc trưng, ta có:

Bước 2: Tìm các VTR:

1. Ta tìm các VTR ứng với tổng giá trị riêng

Ứng với tổng giá trị riêng

ta có VTR

là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy VTR ứng với GTR

có dạng

2. Ta tìm các VTR ứng với tổng giá trị riêng

Ứng với tổng giá trị riêng

ta có VTR

là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy VTR ứng với GTR

có dạng

Ví dụ 2: Tìm GTR, VTR của ma trận A:

” title=”left ” class=”latex” /> , xem A là ma trận phức

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:

Phương trình (1) vô nghiệm thực. mặc khác do A là ma trận phức nên ta tìm GTR phức của ma trận. Giải phương trình đặc trưng, ta có:

Bước 2: Tìm các VTR:

1. Ta tìm các VTR ứng với tổng giá trị riêng

Ứng với tổng giá trị riêng

ta có VTR

là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy VTR ứng với GTR

có dạng

2. Ta tìm các VTR ứng với tổng giá trị riêng

Ứng với tổng giá trị riêng

ta có VTR

là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy VTR ứng với GTR

có dạng

Ví dụ 3 :

a. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận:

” title=”A = left ” class=”latex” />

b. Dựa vào đa thức đặc trưng, chứng minh A khả nghịch và chỉ ra biểu thức xác định

c. Tính

d. Tìm GTR, VTR của A.

Giải.

a. Tương tự như các ví dụ trên, ta đơn giản tìm được đa thức đặc trưng của ma trận A:

b. Theo tính chất 4 ta có:

. vì thế:

Đặt

.

Xem thêm: Thị Tẩm Là Gì

Ta có:

.

vì thế: A khả nghịch và

c. Ta có

nên:

d. Từ đa thức đặc trưng ta tìm được các GTR:

Khi đó: VTR ứng với tổng giá trị riêng

có dạng:

VTR ứng với tổng giá trị riêng

có dạng:

VTR ứng với tổng giá trị riêng

có dạng:

Chuyên mục: Hỏi Đáp